Étude en électromagnétisme : code de propagation électromagnétique, équation parabolique avec terrain

Étude de faisabilité d'un code de propagation électromagnétique hybride

L'approximation parabolique a connu un grand succès dans les problèmes de propagation électromagnétique, en apportant des précisions inaccessibles avec les modèles de rayons. Par contre, sa résolution numérique doit être traitée avec soin pour obtenir des temps de calcul opérationnels. Cette étude a analysé les différentes possibilités d’évolution d’un code de propagation électromagnétique de type parabolique, vers un produit opérationnel. Le logiciel, appartenant au CTSN/LAS, est un code parabolique pur, basé sur un schéma de résolution numérique aux différences finies de l'équation parabolique standard de propagation (ci-contre).

	k₀ : nombre d'onde
	m : indice de réfraction atmosphérique
	x et z : coordonnées en distance et altitude
	y : fonction scalaire liée au champ électromagnétique

La solution peut alors s'écrire sous la forme

	A et B : opérateurs linéaire de x et z
	Dx Dz : pas en distance et altitude du calcul

Après étude bibliographique, quatre développements théoriques majeurs ont été étudiés et évalués :

Modèle grand angle : les modèles paraboliques sont par construction des modèles faibles angles de propagation ('ouverture en site des antennes supposée inférieure à 10° environ). Cependant, un développement mathématique plus sophistiqué du modèle permet de garder le caractère parabolique des équations de propagation et de considérer des antennes à plus large ouverture de rayonnement.

Méthode numérique Split Step Fourier Transform : Le code actuel utilise un schéma aux différences finies pour résoudre numériquement l'équation différentielle parabolique à chaque pas de calcul en distance. Une alternative performante consiste à effectuer ces calculs en utilisant la robustesse et rapidité d’exécution des algorithmes de transformée de Fourier rapide FFT.

Condition limite non locale (CLNL) : en propagation en basse atmosphère, le problème se pose de tronquer le domaine de calcul vers le haut. Des conditions locales comme la condition de rayonnement de Sommerfeld ne sont pas suffisantes pour éliminer les réflexions parasites et on est obligé d’introduire une zone "tampon", au dessus du domaine, où la solution est écrasée progressivement. Cette méthode simple possède l’inconvénient d’accroître fortement le temps de calcul. Une solution est de développer une CLNL sur la frontière z = z_s. La méthode, assez complexe, est la suivante : une CL transparente peut être obtenue si l'on arrive à décrire de manière exacte la solution dans la région supérieure au domaine de calcul "utile".

Pour traiter le problème, on distingue 2 cas :

i) la source se situe dans le domaine z < z_s: ce cas est appelé problème "diffractant" car il peut être interprété comme un train d'onde plane diffracté par une ouverture de largeur z_s, faîte dans un écran absorbant

ii) la source se situe en dehors du domaine z < z_s: l'illumination est quelconque sur tout la verticale x = 0, l'onde plane peut passer librement à travers cette frontière, et le problème devient un problème de "transmission".

Dans chaque cas, la méthode aux différences finies se trouve mieux adaptée pour le calcul de la CLNL.

Code hybride : pour diminuer encore les temps de calcul, des modèles hybrides ont vu le jour. C'est le cas de RPO, développé par les USA, basé sur la combinaison d'un modèle parabolique et d'un modèle de rayons optiques, en distinguant 4 régions (cf. figure). Le point sensible est d'assurer la continuité de la solution aux différents interfaces. Les gains en temps de calcul sont alors conséquents, de 25 à 100 fois plus rapides par rapport à des modèles paraboliques purs.

Le modèle hybride PCPEM développé par les Anglais repose sur une approche légèrement différente, en remplaçant la zone XO "d'optique étendue" par un modèle dit d'équation parabolique horizontale (HPE).

Prise en compte du terrain dans un modèle de propagation électromagnétique

En vue de faire évoluer son code de propagation de type parabolique, le CTSN/LAS nous a confié la prise en compte du terrain. L'équation parabolique standard (EPS, cf. ci-contre) est résolue par des différences finies avec un schéma de Crank-Nicolson. Le problème a été traité par Semantic T.S. en introduisant une équation parabolique intermédiaire adimensionnée, dont les nouvelles variables x' et y' contiennent les variations du terrain.

	k₀ : nombre d'onde
	m : indice de réfraction atmosphérique
	x et z : coordonnées en distance et altitude
	y : fonction scalaire liée au champ électromagnétique

Le principe de la méthode est le suivant :


1 - Définition du domaine réel Domaine réel sur lequel le champ électromagnétique doit être calculé avec l'EPS. Défini par le profil du terrain et le profil d’indice de réfraction. Le maillage est régulier. Les pas sont : Dx, Dy	2 - Domaine adimensionné Définition du domaine équivalent sur lequel le champ électromagnétique doit être calculé avec l’équation parabolique adimensionnée. Le domaine résultant admet un maillage régulier ; les pas sont : Dx', Dy' tels que : où t(x) est une fonction analytique décrivant les variations d'altitude du terrain en fonction de la distance	3 - Résolution de l'EP 4 - Transcription et affichage des résultats La transcription des résultats du domaine adimensionné au domaine réel a lieu en réarrangeant les valeurs obtenues dans les mailles irrégulières représentées ci-dessus.

Un exemple de résultat obtenu sur le dépouillement de la campagne de Livourne'96 est présenté ci-dessous, avec :

	Altitude de la source : 30m
	Distance de la côte : 60 km env.
	Profil d'indice présentant un fort conduit de propagation de 200m d'hauteur