Modélisation et études de processus aléatoires

Étude dans le formalisme de Itô des équations de propagation en milieu aléatoire

Que ce soit en acoustique ou en électromagnétisme, le problème de la propagation des ondes dans un continuum aléatoire est un sujet largement traité dans la littérature. Il consiste à rechercher les moments du champ sonore ou électromagnétique se propageant dans un milieu dont les propriétés fluctuent. L'approche classique consiste à mettre en oeuvre une méthode statistique type Monte Carlo : celle-ci se décompose en 3 étapes :

1. à partir de modèles spectraux théoriques du phénomène aléatoire, on génère des réalisations indépendantes par inversion du spectre de densité d'énergie ;
2. le système est alors résolu numériquement pour chaque réalisation précédente ;
3. des statistiques d'ensemble sont ensuite effectuées pour obtenir les moments du champ acoustique ou électromagnétique (moyenne, variance, ...).

Semantic T.S. maîtrise bien cette méthode, a développé des outils adéquats pour générer ces calculs. L'avantage de cette méthode est qu'elle permet de modéliser très finement les phénomènes physiques aléatoires impliqués, par le choix de modèles théoriques sophistiqués. Par contre, elle nécessite un temps de calcul important, la solution pouvant converger lentement. 

Il existe cependant d'autres approches permettant d'obtenir directement les équations différentielles vérifiées par les moments du champ, et donc d'accéder aux mêmes informations par la résolution numérique d'UNE SEULE équation. Plus complexes mathématiquement, on peut citer par exemple les travaux de Tatarskii (formalisme de Novikov-Furutsu). Semantic T.S. a quant à elle développé une méthode basée sur les règles du calcul stochastique : en particulier les équations différentielles stochastiques (c.a.d. à coefficients aléatoires) sont interprétées dans le formalisme de Itô. Elle aboutit à une équation très générale englobant tous les moments, à partir de laquelle il est possible de générer les équations différentielles (ordinaires) de chaque moment.

Application : étude de l'impact des ondes internes sur la propagation du son par une méthode de Monte-Carlo

Dans l'exemple ci-après, nous avons appliqué ces techniques au calcul du champ sonore en milieu marin perturbé par des phénomènes d'ondes internes. La figure ci-dessous présente la différence de pertes acoustiques (en dB) entre un environnement non-aléatoire et un environnement avec des ondes internes. 

Cette technique permet aussi de déterminer statistiquement les moments d'ordres supérieurs du champ sonore (moment d'ordre deux : intensité sonore moyenne, ou autocorrélation verticale et moment d'ordre quatre : variance des fluctuations d'intensité sonore) avec des temps de calculs proches de ceux obtenus pour la détermination du moment d'ordre un (travail présenté dans la thèse de doctorat de C.Noël).

Application : étude modale de la propagation du son en milieu aléatoire dans le formalisme de Itô

L'approche modale consiste à développer le signal étudié sur la base des modes normaux du système physique dans lequel a lieu la propagation (mécanique, acoustique, électromagnétique...). Ce système physique vérifie des équations du mouvement mettant en évidence certains opérateurs (Helmholtz, d'Alembert...) reliés à la description célérimétrique du milieu. Les modes sont les fonctions propres de cet opérateur, associées au profil moyen de l'indice du milieu.

Les exemples suivants présentent une étude modale de la propagation sonore en milieu aléatoire. L'équation de propagation parabolique de l'intensité sonore est résolue en projetant le champ sonore sur la base des modes normaux. L'aspect aléatoire du milieu est directement pris en compte dans les équations. Une seule résolution de ces équations est nécessaire pour obtenir la valeur de l'intensité sonore moyenne en tout point de l'espace.

Les fluctuations du niveau d'intensité atteignent fréquemment 3dB soit 50% d'atténuation. L'intérêt de ce type de méthode est de rendre compte des phénomènes d'interférences et autres effets cohérents

Application : étude de la propagation électromagnétique en milieu atmosphérique aléatoire

Dans le cas de la propagation électromagnétique, les fluctuations aléatoires de l’indice de réfraction dues à la turbulence atmosphérique provoquent une atténuation de l’onde radar, par des mécanismes de diffusion proches du mécanisme de Bragg en diffraction optique. Ces effets deviennent particulièrement sensibles pour des fréquences radar supérieures à quelques 10 GHz, et dans les basses couches de l’atmosphère où la turbulence est généralement plus intense. 

Pour modéliser ces effets, dans un premier temps, une méthode de Monte Carlo nous a permis de calculer le moment d’ordre un du champ électromagnétique (champ moyen). Dans un deuxième temps, les équations différentielles stochastiques ont été traitées directement dans le formalisme de Itô. Dans le cas du 1^er moment, une équation différentielle ordinaire de type parabolique a été obtenue et le calcul du champ électromagnétique moyen peut donc être conduit au prix d'une modification mineure de n'importe quel modèle parabolique existant. (ceci constitue une partie des résultats de la thèse de E. Mandine)